1 Цели работы. Целью данной работы является изучение закона Бэнфорда как научного явления. Задачи работы




Скачать 129.5 Kb.
Название1 Цели работы. Целью данной работы является изучение закона Бэнфорда как научного явления. Задачи работы
Дата конвертации12.12.2012
Размер129.5 Kb.
ТипРеферат


«Закон Бэнфорда. Применение сложных

случайных величин в финансово-хозяйственной деятельности предприятия».

Полозов Алексей, ученик 9 «А» класса

Руководитель: Кузнецов Е.И., учитель математики

Содержание


1.Введение

2.Основная часть

2.1Первые шаги к открытию

2.2.Открытие закона

2.3.Переход от науки к практике

2.4.Математический эксперимент

3.Заключение

I. Введение.

Во все времена, при любом экономическом строе одни люди совершали экономические преступления, а другие их раскрывали. Для борьбы с экономическими преступлениями существует институт финансовых ревизоров. В целях выполнения поставленных перед ними задач, ревизоры могут проводить выездные и камеральные проверки.

За последние десятилетия были разработаны и успешно применяются абсолютно новые методы выявления подозрительных операций. Данные приемы основаны на принципах математического анализа. Используя их, внимательный аналитик сможет распознать сфабрикованные документы. Мастерство жуликов постоянно растёт. Они используют всевозможные высокотехнологические новинки. В то же время растет мастерство тех, кто призван бороться с экономической преступностью.

До середины 20 века ревизоры иногда использовали следующий прием: подсчитывали количество троек в документах и сравнивали с количеством восьмерок. Другой популярной парой цифр были единицы и четверки.

Дело в том, что с минимальными затратами усилий тройки в первичных документах часто превращались в восьмерки, а единицы – в четверки. Если восьмерок было больше – ревизор мог предположить, что часть из них начинали свою жизнь тройками, и брался за лупу и арифмометр.

С появлением компьютеров стало очень легко анализировать большие объемы данных, но в основном весь анализ сводился к простому суммированию. Эффективность первых методов была крайне низкой. И особого выбора методов обработки данных не было.

Как представитель современного общества, опирающегося на новейшие информационные технологии, я заинтересовался последними достижениями науки в области решения задач по защите информации и раскрытию экономических преступлений. При этом меня интересовали методы, в которых основным инструментом является компьютер и специальная программа.

Со всем этим я ознакомился в материалах для профессионального аудита.

1.1. Цели работы.


Целью данной работы является изучение закона Бэнфорда как научного явления .

1.2. Задачи работы.


Задачами работы является:

- поиск открытых источников информации по данной теме;

- построить математическую модель, на которой может быть экспериментально проверен закон Бэнфорда;

- сделать выводы о соблюдении или несоблюдении закона Бэнфорда на основе результатов математического моделирования в программной среде.

1.3. Гипотеза.


Если закон Бэнфорда объективен, не смотря на то, что он является эмпирическим, т.е. основан на наблюдениях, то это можно с достаточной точностью проверить опытным путём.

II. Основная часть. 2.1. Первые шаги к открытию.


Изучая материалы по данной теме, я проанализировать несколько сайтов сети Интернет и нашел следующую информацию. В 1881 году астроном Саймон Ньюкомб, работая в библиотеке с книгой, содержащей таблицы логарифмов, обнаружил, что страницы в начале книги замусолены сильнее, чем остальные страницы. Надо отметить, что калькуляторов в те времена еще не придумали, и все расчеты производились на бумаге. Для сложных вычислений, таких как тригонометрические и логарифмические, использовались специальные книги, содержащие таблицы значений множества чисел. Ещё недавно для этих целей применялись «Таблицы Брадиса». Пользоваться ими учили в средней школе.

Такая странность наблюдалась не только на одном конкретном экземпляре, но и на большинстве других. Причина такой неравномерности была очевидна: студенты, пользующиеся таблицами логарифмов, чаще всего интересовались значением логарифма числа, начинающегося с единицы, затем с двойки, и так далее. Логарифмы чисел, начинающихся с девятки, интересовали студентов менее всего.

Размышляя на эту тему, Ньюкомб первым открыл эмпирический закон распределения чисел. Он гласит, что, если мы случайным образом выберем любое число из таблицы, содержащей физические значения или статистические данные, вероятность того, что оно будет начинаться с единицы, приблизительно равна 30,1%.

Если бы все начальные цифры чисел встречались с одинаковой вероятностью, то такая вероятность должна была равняться 10%, т.к. мы используем десять цифр, включая ноль. Ньюкомб опубликовал статью об этом наблюдении, но она была проигнорирована научным сообществом. Современники не нашли в ней ничего интересного. К сожалению, так часто случается в науке, когда открытие опережает своё время.

2.2. Открытие закона.


Прошло более пятидесяти лет с момента открытия Ньюкомба. В 1938 году американский физик Фрэнк Бенфорд листал в библиотеке таблицы логарифмов. Обнаружив ту же закономерность, что и Ньюкомб, он пошел гораздо дальше. Бенфорд проанализировал справочные данные о площадях поверхности 335 рек, различных параметрах тысяч химических соединений, номерах домов из адресного справочника, результатах бейсбольных матчей. В итоге ученый обнаружил, что везде соблюдается одна и та же закономерность: чисел, начинающихся с единицы, гораздо больше, чем начинающихся с любой другой цифры.

Пытаясь выразить обнаруженную закономерность математически, Фрэнк Бенфорд вывел формулу, описывающую вероятность (p) того, что случайная десятичная дробь будет начинаться с числа n:

p = lg (n + 1) – lg (n).

Из формулы следует: чем меньше цифра, тем больше вероятность того, что с нее будет начинаться случайная десятичная дробь (см. табл.).

Вероятность появления первой цифры в случайной десятичной дроби

Цифра

Частота появления первой, по Бенфорду

1

0,30103

2

0,176091

3

0,124939

4

0,09691

5

0,0791812

6

0,0669468

7

0,0579919

8

0,0511525

9

0,0457575

Справедливость формулы подтверждали результаты многих практических исследований. Бенфорд назвал данную закономерность «законом аномальных чисел». Слово «аномальные» появилось в результате того, что одни данные соотносились с обнаруженным законом лучше, чем другие, но общая тенденция все равно прослеживалась. Площади рек и номера домов соответствовали закону идеально, а таблицы удельных теплоемкостей – несколько хуже. Бенфорд считал, что его закон применим только к тем числам, между которыми не имеется связующих закономерностей.

История и на этот раз распорядилась по-своему. Закон, открытый Бенфордом, стали называть Законом Бенфорда, но практического применения он так и не получил, оставаясь в разряде математических курьезов.

В 1961 году Роберт Пинкхем заметил еще одну закономерность. Закон Бенфорда работает и при любой единице измерений! То есть, если измерить площадь рек в квадратных километрах и исследовать частоту появления разных цифр в качестве первой цифры, обнаружится, что эта частота соответствует Закону Бенфорда. Даже если измерить площадь тех же самых рек в квадратных футах – результат также будет соответствовать Закону Бенфорда. Подобные утверждения справедливы и для различных валют. Например, если цены, выраженные в долларах, соответствуют распределению Бенфорда, то это не изменится даже при их пересчете по курсу в евро или рубли.

В 1986 году физик Дон Лемонс первым обратил внимание на простое обстоятельство, которого наука прежде не замечала: луж больше, чем прудов, а прудов больше, чем океанов. Из этого следует, что водоемов площадью от 10 до 20 аров (гектаров, квадратных километров и проч.) больше, чем площадью от 20 до 30 аров. А площадью от 100 до 200 аров больше, чем площадью от 200 до 300 аров.

Простым языком Закон Бенфорда можно описать так: маленьких вещей в мире всегда больше, чем больших. Маленьких озер всегда больше, чем больших, маленьких камней – больше, маленьких книг – больше, фотографий, на которых изображен один человек, больше, чем групповых, низких домов больше, чем многоэтажных, незначительных аварий на дорогах больше, чем серьезных. В бухгалтерии проводок на маленькие суммы больше, чем на большие. Почему так происходит закон не объясняет, поскольку он является эмпирическим, но происходит все именно так.

2.3. Переход от науки к практике.


В статье Александра Баранова «Звездное небо над нами» я узнал, что долгое время Закон Бенфорда так и не имел никакого практического применения. Только в последнее время его начали использовать как серьезный аналитический инструмент. Все началось с того, что американский математик Марк Нигрини сообразил, что Закону Бенфорда должны подчиняться не только площади рек, но и числа в налоговых декларациях и данные бухгалтерского учета.

Нигрини предположил, что мошенники вряд ли знакомы с законом аномального распределения чисел. Это означает, что в любых наборах чисел, претендующих на достоверность, частота чисел сфабрикованных человеком, начинающихся с единицы, не будет сильно отличаться от 1/9 (обман человеческой психики). Нигрини разработал компьютерные программы по выявлению потенциальных случаев фальсификации данных и посвятил этому свою диссертацию на степень магистра в Канзасском университете (аналог дипломной работы в РФ). Изучая фальсификации естественных данных человеком, Нигрини натолкнулся на одну особенность человеческой психики – люди любят цифры 5 и 6 ставить первыми с неоправданно высокой частотой, резко выбивающейся из распределения Бенфорда.

Данная работа была замечена государственными контролирующими органами США, и Нигрини предложили проанализировать налоговые декларации, среди которых было несколько заведомо фальсифицированных. Все они были немедленно выявлены ученым, как противоречащие закону распределения Бенфорда. В 1993 году благодаря Нигрини был выявлен случай крупной фальсификации отчетности госслужащим США (мошенничество сотрудника казначейства штата Аризона на общую сумму более $2 млн.).

В 1997 году Нигрини и Миттермайер разработали шесть математических тестов, основанных на Законе Бенфорда. Эти тесты первыми были введены в практику международной аудиторской компанией «Эрнст и Янг» для анализа и выявления нерегулярностей в данных клиентов при аудите.

Александр Воробьев, генеральный директор компании Налог.КОМ, член ACFE (Association of Certified Fraud Examiners) в статье «Аномальные цифры финансовых махинаций» пишет, что первый вопрос, на который должен ответить аудитор при проведении теста: является ли набор неких данных Бенфорд-последовательностью или нет? То есть соответствует ли он распределению Бенфорда. Самый простой способ – представить, откуда эти данные берутся. Если они получаются в результате естественного течения событий или присутствуют в природе «сами по себе», то скорее всего они будут соответствовать Закону Бенфорда. Вот некоторые примеры данных, соответствующих Закону Бенфорда:

  • номера платежных поручений от различных покупателей (вся совокупность);

  • суммы платежей от покупателей;

  • суммы в авансовых отчетах;

  • остатки товаров на складах;

  • номера домов в адресах клиентов.

Не соответствуют Закону Бенфорда:

  • почтовые индексы;

  • номера телефонов (первые цифры – номер АТС);

  • выигрышные номера в лото и рулетку (здесь цифры – лишь символы, их легко можно заменить, например, на буквы);

  • любые объемы данных, размер которых недостаточен для применения статистических методов;

  • суммы платежей от покупателей и объемы заказов, если продается несколько позиций одной номенклатуры. Допустим, мы реализуем авторучки ценой 99 долларов за каждую. Чаще всего покупают всего одну ручку. Поэтому в большинстве случаев первой цифрой в сумме платежа будет девятка. На втором месте – единица (оплата за две ручки – 198 долларов). На третьем месте – двойка (оплата за три ручки – 297 долларов) и т. д.

На основе действия закона Бэнфорда существует несколько методов. Область применения этих методов достаточно обширна. Они используются при внутренних расследованиях, налоговых проверках, внешнем аудите, контроллинге, оценке.

Конечно, анализ на соответствие закону можно проводить и при помощи относительно простой программы, входящий в офисный пакет, установленной практически на каждом персональном компьютере или рассчитывать закономерности на бумаге. Однако ведущие мировые производители программных комплексов, разработанных для аудита или выявления случаев мошенничества, давно встроили тесты на основе Закона Бенфорда в свои программы.

В России подобный функционал встраивается в некоторые версии программы AuditNET одноименной компании.

2.4. Математический эксперимент.


Прежде чем перейти к демонстрации, я хотел бы напомнить одну истину: простая случайная величина имеет равномерное распределение. Допустим, что случайным образом нужно выбрать один из десяти шариков. Вероятность выбора каждого шарика - 10%. Если перейти к случайному выбору числа от 0 до 9, то, казалось бы, вероятность должна быть такой же. Вероятно, что и сложная случайная величина должна быть распределена равномерно. А это сразу ставит под сомнение закон Бэнфорда.

Для проверки истинности закона Бенфорда я создал несложную таблицу в программе Excel.

Создано 2 массива по 1000 чисел в каждом. С помощью формулы =СЛУЧМЕЖДУ() программа генерирует случайные числа в диапазоне от 1 до 995. С помощь конструкции, основанной на использовании формулы = ЕСЛИ() программа отбрасывает все цифры каждого числа, кроме первой. Таким образом создаётся вторичный массив случайных чисел, меняющихся в диапазоне от 1 до 9. Назовём первый массив {A}, а второй - {B}. Затем программа считает модуль разности между Ai и Bi, произведение Ai и Bi, и частное Ai и Bi. Во вновь образованных массивах также оставляется только первая цифра от числа.

После этого программа подсчитывает количество каждой цифры встречающейся в массивах, образованных путем выполнения операций сложения, умножения, деления и отбрасывания всех цифр, кроме первой. Результаты занесены в отдельную таблицу.

Это и есть таблица частот повторения цифр от 1 до 9. Анализ этой таблицы показывает, что идеального выполнения закономерности Бенфорда добиться не удалось. Но основной принцип, безусловно, выполняется.

Таблица с результатами приведена ниже.

Цифры от 1 до 9

Количество
цифр от 1 до 9
в столбце

Ai-Bi

Количество
цифр от 1 до 9
в столбце Ai*Bi

Количество
цифр от 1 до 9
в столбце Ai/Bi

"1"

20%

24%

25%

"2"

16%

17%

17%

"3"

15%

15%

15%

"4"

13%

13%

12%

"5"

12%

10%

11%

"6"

10%

9%

8%

"7"

8%

5%

5%

"8"

4%

5%

5%

"9"

2%

2%

2%


III. Заключение


Сопоставительный анализ таблицы распределения Бэнфорда и таблицы с данными, полученными путём математического моделирования, показывает, полного совпадения опытных величин с ожидаемыми не произошло. Причиной этого может быть относительно небольшое число испытаний ( в таблице приведён всего один из нескольких полученных результатов), а так же недостаток самой модели.

Но также следует обратить внимание на тот факт, что в полученном распределении цифр соблюдается следующая закономерность: единиц больше всего, каждая следующая цифра встречается всё реже, причем при приближении к цифре 9 количество её выпадений резко снижается.

Исходя из того, что есть объективная информация об использовании тестов, основанных на законе Бэнфорда, крупными аудиторскими компаниями, я считаю, что недостаточное совпадение результата с ожидаемыми величинами следует отнести на погрешности математического моделирования и признать результаты эксперимента подтверждением закона Бэнфорда.

Cписок литературы:

    1. Баранов Александр Звездное небо над нами - www.auditline.ru

    2. Воробьев Александр Аномальные цифры финансовых махинаций – www. translated.by

    3. ru.wikipedia.org

    4. www. dxdy.ru

    5. www. mt-expert.org.ua

    6. www.investor.ru

    7. http://gaap.ru/




Похожие:

1 Цели работы. Целью данной работы является изучение закона Бэнфорда как научного явления. Задачи работы iconМетодические указания по выполнению контрольной работы Для самостоятельной работы
Целью контрольной работы является закрепление у будущих специалистов теоретических знаний о процессе формирования и развития рынка...
1 Цели работы. Целью данной работы является изучение закона Бэнфорда как научного явления. Задачи работы iconЦель работы
Целью работы является измерение коэффициента вязкос-ти жидкости методом Стокса и получение эмпирической за-висимости вязкости от...
1 Цели работы. Целью данной работы является изучение закона Бэнфорда как научного явления. Задачи работы iconСеминары 10  Лабораторные работы 14 
...
1 Цели работы. Целью данной работы является изучение закона Бэнфорда как научного явления. Задачи работы iconМетодические рекомендации к выполнению контрольной работы
Целью контрольной работы является расширение, систематизация и закрепление теоретических знаний и практических навыков студентов,...
1 Цели работы. Целью данной работы является изучение закона Бэнфорда как научного явления. Задачи работы iconМетодические указания к выполнению курсовой работы для студентов направления «Радиотехника»
Курсовая работа является одной из форм самостоятельной работы студентов. Выполнение курсового проекта является заключительным этапом...
1 Цели работы. Целью данной работы является изучение закона Бэнфорда как научного явления. Задачи работы iconСодержание список использованных источников 4 введение
Целью курсовой работы является изучение теоретической сущности и проведения анализа системы оплаты труда для разработки рекомендаций...
1 Цели работы. Целью данной работы является изучение закона Бэнфорда как научного явления. Задачи работы iconМетодические рекомендации по написанию курсовой работы Основные требования, предъявляемые к курсовой работе Тематика курсовых работ
Целью курсовой работы является закрепление, углубление и совершенствование теоретических знаний и практических умений, применение...
1 Цели работы. Целью данной работы является изучение закона Бэнфорда как научного явления. Задачи работы iconАнализ воспитательной работы в моу малозиновьевской оош за 2010-2011 уч год
Целью работы нашей школы в направлении воспитательной работы на 2010-2011 уч год было
1 Цели работы. Целью данной работы является изучение закона Бэнфорда как научного явления. Задачи работы iconМетодические указания по выполнению контрольной работы для самостоятельной работы студентов II курса специальностей
Подготовка контрольной работы является важным видом самостоятельного изучения студентами курса политологии. Условием ее успешного...
1 Цели работы. Целью данной работы является изучение закона Бэнфорда как научного явления. Задачи работы iconСинтез и исследование триггерных схем произвольных типов
Целью лабораторной работы является изучение принципов функ-ционирования, логического проектирования и экспериментального исследования...
Разместите кнопку на своём сайте:
zakon.znate.ru


База данных защищена авторским правом ©zakon.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Zakon
Главная страница