Математика




PDF просмотр
НазваниеМатематика
страница61/76
Дата конвертации23.12.2012
Размер0,8 Mb.
ТипДокументы
1   ...   57   58   59   60   61   62   63   64   ...   76

b
d1
a
a
a
β
α
d2
a
Рис. 18
Рис. 19
Теорема синусов
a
b
c
=
=
= 2R.
sin α
sin β
sin γ
Теорема косинусов
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.
Линии в треугольнике и их свойства
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника
с серединой противоположной стороны. Медианы обычно обозначаются ma, mb, mc.
Свойства медиан:
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в
отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
2. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.
Высотой треугольника называется отрезок перпендикуляра, опущенного из вер-
шины треугольника на противоположную сторону или на ее продолжение.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Биссектрисой треугольника называется отрезок прямой, делящий один из углов
треугольника на две равные части.
Свойства биссектрис:
1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром
вписанной окружности.
2. Биссектриса треугольника есть геометрическое место точек, равноудаленных
от сторон угла.
3. Биссектриса треугольника делит сторону треугольника на части, пропорцио-
нальные прилежащим к ней сторонам.
Центр описанной около треугольника окружности лежит в точке пересечения
перпендикуляров, восстановленных из середин сторон треугольника.
Треугольники специального вида
Прямоугольный треугольник (рис. 17) — это треугольник, один из углов кото-
рого прямой. Сторона, лежащая против прямого угла называется гипотенузой, а
остальные стороны — катетами.
153

Свойства прямоугольного треугольника:
c2 = a2 + b2,
теорема Пифагора.
a + b − c
c
r =
;
R = .
2
2
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между ги-
потенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла,
есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на се-
редине гипотенузы.
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.
Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.
Свойства равнобедренного треугольника:
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является ме-
дианой, биссектрисой и осью симметрии треугольника.
Равносторонний треугольник (рис. 18) — это треугольник, у которого все сторо-
ны равны. Углы в равностороннем треугольнике равны 60◦.



a2 3
a 3
a 3
S =
;
R =
;
r =
.
4
3
6
Длина окружности L и площадь круга S (рис. 21) вычисляются по формулам:
L = 2πR;
S = πR2.
β
β◦
Длина дуги окружности равна l = R·α. Площадь сектора равна S =
R2; S =
πR2.
2
360◦
Сектор
a
β
α
h
R
b
Рис. 20
Рис. 21
Если из точки, лежащей вне круга, проведены к окружности касательная и секущая,
то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
154

14.2. Примеры
Пример 1. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности
делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найти катеты треугольника.
Решение. В
ABC (рис. 22) угол C прямой, AD = 5 см, DB = 12 см, E и F –
точки касания вписанной окружности и соответствующих катетов.
AD = AF , BD = BE, F C = EC по свойству касательных к окружности, проведен-
ных из одной точки. Пусть EC = x, тогда по теореме Пифагора для
ABC можно
записать
(5 + x)2 + (12 + x)2 = (5 + 12)2, x1 = 3; x2 = −20 (не подходит).
Итак, AC = 5 + 3 = 8 см, BC = 12 + 3 = 15 см.
Ответ: 8 см, 15 см.
A
B
C
D
F
C
E
B
A
E
D
Рис. 22
Рис. 23
Пример 2. Найти длину основания равнобедренного треугольника, площадь ко-
торого равна 25 см2, а углы α при основании таковы, что tg α = 4.
Решение. В треугольнике ABC (рис. 24) BD ⊥ AC, AB = BC. По свойству равно-
бедренного треугольника AD = DC. Обозначим BD = h, AD = a, тогда
h
tg α = ;
a
1
S ABC = h · 2a = ah.
2
Получили систему уравнений
 h

= 4,
a
 ah = 25,
h = 4a, 4a2 = 25, a = 2, 5 или a = −2, 5 (не подходит). Отсюда в треугольнике ABC
основание AC = 2a = 5.
Ответ: 5 см.
Пример 3. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а проекция
другого катета на гипотенузу равна 16 см. Найти радиус окружности, вписанной в
треугольник.
155
1   ...   57   58   59   60   61   62   63   64   ...   76

Похожие:

Математика iconУрока: «Математика в мире животных»
«самые-самые». А так же повторим правила и закрепим свои знания по теме: «Арифметические действия с десятичными дробями». Эпиграфом...

Математика iconВысшая математика I
Знание основ высшей математики делает возможным изучение прикладных и экономических наук, грамотное общение с компьютером. Это определяет...

Математика iconВысшая математика III основы теории вероятностей. Элементы математической статистики
Знание основ высшей математики делает возможным изучение прикладных и экономических наук, грамотное общение с компьютером. Это определяет...

Математика iconМетодическое пособие по дисциплине «математика и информатика» для студентов заочной формы обучения
Глазова В. Ф., Богданова А. В. Методическое пособие по дисциплине «математика и информатика». Тольятти, тгу, 2006. – 38 с

Математика iconРабочая программа дисциплины опд. Ф. 09 Теория вероятностей и математическая статистика Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)»
Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) – «Прикладная математика (ПМ)»

Математика iconРабочая программа дисциплины опд. В. 01. 01. Основы геодинамики закреплена за кафедрой математики Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)»
Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) – «Прикладная математика (ПМ)»

Математика iconМатематика

Математика iconМатематика
З а м е ч а н и е  в связи с формулировкой теоремы 1 отметим, что по классическим теоре

Математика iconПрограмма междисциплинарного экзамена по направлению 010500. 62“Прикладная математика и информатика” (бакалавриат)

Математика iconПрограма конференції 
«Інформатика,  математика  механіка», що  проводилася  у  попередні  п’ять  років. Головним 

Разместите кнопку на своём сайте:
zakon.znate.ru


База данных защищена авторским правом ©zakon.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Zakon
Главная страница